Fractales

Pour introduire cette page sur les fractales, quoi de mieux qu'une mise en abyme avec l'adjectif FRACTAL lui même fractalisé.



Cet ensemble limite (s'il existe vraiment) est obtenu en remplaçant chacun des 20 segments composant le mot FRACTAL par 20 nouveaux segments plus petits, et en recommençant indéfiniment.
Ainsi l'ensemble tout entier peut être décomposé en 20 morceaux images du tout par 20 similitudes de rapports indiqués en rouge ci-dessous.



Pour ce type de fractale (réunion d'images d'elle-même par un nombre fini de similitudes), la dimension fractale est relativement accessible.
En notant λ₁,λ₂, ... , λ₂₀ nos 20 rapports de similitudes et α la dimension fractale de FRACTAL, alors α vérifie :

$\sum _{i=1}^{\mathrm{20}}{\lambda }_i^{\alpha }=1$
D'où α≈1.33237

Lorsqu'une fractale est la réunion de n images d'elle même par des homothéties de même rapport λ alors sa dimension fractale s'obtient explicitement et vaut ln(n)/ln(1/λ)

Par exemple le triangle (ou tamis) de Sierpiński est la réunion réunion de 3 images de lui-même par des homothéties de rapport 1/2 donc sa dimension fractale est ln(3)/ln(2)≈1.58496.

Le tapis de Sierpiński (version carrée du tamis, il est en background de cette page) est la réunion de 8 images de lui-même par des homothéties de rapport 1/3 donc sa dimension fractale est ln(8)/ln(3)=3ln(2)/ln(3)≈1.89279.

La version spatiale du triangle de Sierpiński: le tétraèdre de Sierpiński que l'on peut apercevoir ci-dessous, est la réunion de 4 images de lui même par des homothéties de rapport 1/2, sa dimension fractale est donc ln(4)/ln(2)=2 (étonnant).
L'éponge de Sierpiński-Menger (le cube ajouré ci-dessous) est la réunion de 20 images de lui-même par des homothéties de rapport 1/3, sa dimension fractale est donc ln(20)/ln(3)≈2.72683.
Le monde des fractales ne se réduit pas aux formes qui sont des réunions d'images d'elles-mêmes par des similitudes, par exemple l'interstice entre les sphères d'Appolonius (voir ci-dessous) est une fractale.
Sa dimension fractale nécessite l'application de la définition d'une dimension de Haussdorf. Elle n'est pas connue de façon exacte et vaut à peu près 2.47.
Pour déconstruire et reconstruire cette dernière structure, utilisez les 2 petits tétraèdres centraux.